体悟数学之美:四色定理、哥德巴赫猜想

来源:搜狐         发布时间:2018-04-16 14:31:00     
1900年,德国数学家希尔伯特在巴黎举行的国际数学家大会上提出了23个数学问题,认为这些是人类在20世纪里应该努力去解决的问题。这23个数学难题中,既包括“两个等底等高的四面体体积相等”这样一经提出便获证明的命题,也包括“哥德巴赫猜想”这样至今未获完全证明的难题。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是我们大多数人都听说过的一个数学难题。

1742年6月7日,哥德巴赫在给欧拉的信中提出了以下猜想:任何大于1的奇数都是三个质数之和(当时1被人们定义为质数);欧拉则在回信中提出了“哥德巴赫猜想”如今常见的表述:任何大于2的偶数都可写成两个质数之和。

近两百年过去,所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进,直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫,用他创造的“三角和”方法,证明了“任何大奇数都可表示为三个质数之和”。不过,维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇,与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。 

直接证明哥德巴赫猜想不行,人们采取了“迂回战术”,就是先考虑把偶数表为两数之和,而每一个数又是若干素数之积。如果把命题“每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”,那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。

最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理:“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1+2 ”的形式。

近代数学史上,除哥德巴赫猜想之外,还有两大猜想非常著名。如今,它们都已经是定理了。

费马大定理

皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家。虽然他的主业是一名律师,但他在数学上的成就丝毫不比那些职业数学家逊色。在数论领域中,费马的巨大成果主要是费马大定理和费马小定理。其中以费马大定理最为著名。

1637年左右,费马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本时,曾在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不(不知道你有没有兴趣将这句话用在数学试卷上,当然我猜想老师是不会给你分的。)

这就是著名的费马大定理:当整数n>2时,关于x,y,z的方程没有正整数解。

费马究竟有没有证明费马大定理,至今是人们津津乐道的话题。费马大定理被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,才于1995年由英国数学家怀尔斯证明,且其证明的过程相当艰深。

历史上,关于费马大定理的故事相当之多。比如:德国实业家沃尔夫斯凯尔,年轻时曾为情所困决意在午夜自杀,但在临自杀前,他读到库默尔论述柯西和拉梅证明费马大定理错误的文章,于是情不自禁地计算到天明。

设定的自杀时间过了,他也放不下问题的证明,于是放弃了自杀的想法。后来数学让他重生并成为大富豪。

四色定理

“四色猜想”于1852年被提出,其通俗的说法是:每个平面地图都可以只用四种颜色来着色,而且没有两个相邻的区域颜色相同。

1976年6月,在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿个判断,结果没有一张地图是需要五色的,最终证明了四色定理,轰动了世界。

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